通常、固定ページのパスワード保護の設定は投稿者（author）権限のユーザーでは出来ませんが、個別に権限付与することで実現可能になります。
実現方法
「User Role Editor」など権限グループ毎の権限を調整出来るプラグインを利用するか以下のように publish_pages を付与することで設定・変更出来るようになります。
// 投稿者の権限グループを取得
$role = get_role( 'author' );
// 'publish_pages' の権限を付与する
$role->add_cap( 'publish_pages' ); 
※公開中のページを非公開に出来てしまったり通常の投稿者権限のユーザーと出来る範囲が異なりますので、権限付与の際はご注意ください。
動作環境情報
エックスサーバー（x10） PHP 7.4.13 MySQL 5.7 WordPress 5.7.2
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